En tant que chef d'orchestre, Alexis Kossenko se consacre pour une grande part à ses responsabilités à la tête des Ambassadeurs ~ La Grande Ecurie ; cet ensemble est l'héritier commun des Ambassadeurs, dont Alexis Kossenko est le fondateur, et de la Grande Ecurie & La Chambre du Roy, où il a pris  la succession du regretté et légendaire Jean-Claude Malgoire.

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Par ailleurs, il est un chef invité recherché : il est ainsi sollicité par des orchestres symphoniques aussi bien que par des phalanges d'instruments historiques, comme Arion (Montréal), Arte dei Suonatori (Pologne), Holland Baroque, European Baroque orchestra, Sinfonia Iuventus (Pologne), l'Academia Montis Regalis (Italie), B'Rock (Belgique), Le Concert d'Astrée (France), {oh!} Orkiestra Historyczna (Pologne), l'Opéra Royal du Danemark, le Staatstheater d'Oldenburg (Allemagne), BaroqueArhus (Danemark), Warsaw Chamber Opera (Pologne), JOA (Jeune Orchestre de l'Abbaye), l'Orchestre de Lviv (Ukraine), l'orchestre de l'Academie de Brunico (Italie), dans un répertoire qui va de Lully à Britten en passant par Bach, Mozart, Rossini, Mendelssohn ou Brahms. Il est considéré comme un expert dans le domaine des opéras de Jean-Philippe Rameau.

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En 2015, il a dirigé 24 représentations des Noces de Figaro de Mozart. Puis il est invité à plusieurs reprises par Sinfonia Iuventus à la Philharmonie de Varsovie pour diriger Mendelssohn, Reinecke, Brahms (4ème Symphonie et concerto pour violon). En 2018-2019, il dirige les Noces de Figaro à l'Opéra Royal de Copenhague, puis Les Paladins et Les Boréades de Rameau au Théâtre d'Oldenburg. A l'atelier Lyrique de Tourcoing il dirige L'Etoile de Chabrier en 2020. Avec Les Ambassadeurs il dirige Platée, Acante et Céphise et Zoroastre de Rameau (au Théâtre des Champs-Elysées à Paris), Cosi fan tutte et le Requiem de Mozart.

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Outre ses fonctions de directeur artistique des Ambassadeurs, Alexis est nommé directeur musical de la Grande Ecurie et la Chambre du Roy à partir de 2020.

Pressentant un avenir commun aux deux formations, il les marie en 2021, et c'est désormais à la tête de "Les Ambassadeurs ~ La Grande Ecurie" qu'il développe ses projets les plus chers. Les nouvelles productions et enregistrements sont accueilli(e)s par des critiques dithyrambiques : The Fairy Queen (Purcell), Le Monde selon Mozart, Zoroastre (Rameau), le Carnaval du Parnasse (Mondonville), symphonies de Mendelssohn, etc...